TEORIA DE GRUPOS

Indice



Definición de Grupo

En matemáticas, un grupo es un conjunto no vacío al que se le suele llamar G que necesita una operacion binaria * con las siguientes propiedades:

  1. Asociatividad:

    Para todo a, b, c en G, (a * b) * c = a * (b * c).

  2. Elemento neutro:

    Existe un elemento e unico en G tal que, para todo a en G, a * e = e * a = a.

  3. Inversos:

    Para cada elemento a en G, existe un unico elemento b en G tal que a * b = b * a = e, donde e es el elemento neutro.

  4. Clausura:

    Si a y b están en G, entonces a * b está en G.


Grupos abelianos

Si para todo a, b en G, a * b = b * a, entonces el grupo es conmutativo. En otras palabras se dice que el grupo es abeliano

Notacion:

Se dice que un grupo es abeliano si todos sus elementos comnutan




Ejemplos de Grupos

Aquí hay algunos ejemplos de grupos:


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Grupos diedrales

Un grupo diedral es el conjunto de toas las rotaciones y reflecciones de figuras geometricas sin realizar deformaciones, su operacion en la composicion. La imagen muestra al grupo diedral del triangulo "D3"

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Grupo de matrices

Todas las matrices construidas sobre cualquier campo de escalares con determinante diferente de 0 forma un grupo. La operacion del grupo es la multiplicacion usual de matrices.

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Espacios vectoriales

cualquier espacio vectorial construido sobre cualquier campo de escalares es un grupo bajo la operacion usual de suma de vectores. En este caso no tenemos multiplicacion por escalar como estamos acostumbrados, pero esta operacion se puede ver como una accion de grupo. Tema que es mas avanzado

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